 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
Subscribe
മനോജ് കുറൂര്Visit Home Page ... |  |
ഗണിതം കവിതയിലും സംഗീതത്തിലും
സംഗീതം ഭാഷയ്ക്ക് സമാനമാണെന്നു് തിയഡോര് അഡോര്ണോ പറയുന്നു. അതു വെറും ശബ്ദമല്ല. സവിശേഷമായി നിര്ണ്ണയിക്കപ്പെട്ടവയാണു് അതിലുപയോഗിക്കുന്ന ശബ്ദങ്ങള്. അങ്ങനെ ചില ശബ്ദങ്ങളെ സംഗീതാത്മകമെന്നും ചിലതിനെ സംഗീതാത്മകമല്ലാത്തതെന്നും വേര്തിരിക്കുന്നു. സംഗീതാത്മകമെന്നു കരുതപ്പെടുന്ന ശബ്ദങ്ങളെ അതല്ലാത്തവയില് നിന്നു് ശാസ്ത്രീയമായി വേര്തിരിക്കുന്നതിനു് ശബ്ദത്തെ ആവൃത്തിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില് നിര്ണ്ണയിക്കുന്നു. സംഗീതാത്മകമായ ഈ ശബ്ദങ്ങളെ ചില പ്രത്യേകക്രമങ്ങളില് അടുക്കുമ്പോഴാണ് സംഗീതം - പ്രത്യേകിച്ച് ശാസ്ത്രീയസംഗീതം ഉണ്ടാകുന്നതു്. സ്വരവിന്യാസത്തിന്റെ ക്രമം നിര്ണ്ണയിക്കുന്നതിനു് ഓരോ സംഗീതപദ്ധതിയിലും അതിന്റേതായ ചില വ്യവസ്ഥകളുണ്ടു്. ഈ വ്യാകരണവ്യവസ്ഥ നിര്മ്മിക്കുന്നതിന് യുക്തിയുടെ സഹായം ആവശ്യമാണ്. യുക്തിയാകട്ടെ അതിന്റെ ഘടകങ്ങളെ നിര്ണ്ണയിക്കാന് ഗണിതശാസ്ത്രതത്വങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നു.
സ്വരത്തിന്റെ കാര്യത്തില് മാത്രമല്ല, താളത്തിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് ബാധകമാണു്. നാദങ്ങളുടെ ചലനക്രമത്തെ നിര്ണ്ണയിക്കുന്നതിനാണു് താളം സഹായകമാകുന്നതു്. ഈ ചലനക്രമത്തിന്റെ മാതൃകകള് നിര്മ്മിക്കുന്നതിനും ഗണിതത്തിന്റെ സഹായം വേണം.
അക്ഷരങ്ങളെ അവയുടെ കാലദൈര്ഘ്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില് അടുക്കുമ്പോഴാണല്ലോ പദ്യമെഴുതുന്നതിനുള്ള വിവിധ വൃത്തങ്ങളുണ്ടാകുന്നതു്. അതായതു്, അക്ഷരങ്ങളുടെ താളമാണു് വൃത്തം. അതുകൊണ്ടുതന്നെ പ്രാചീനവൃത്തശാസ്ത്രവും താളശാസ്ത്രവും തമ്മില് ധാരാളം കൊടുക്കല് വാങ്ങലുകള് ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. വിശദാംശങ്ങളില് വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിലും അവയുടെ അടിസ്ഥാന സങ്കേതങ്ങള് ഒരേ ഗണിതശാസ്ത്രവ്യവസ്ഥയ്ക്കനുസരിച്ചു് രൂപപ്പെട്ടതാണെന്നു് കാണാം. അതുകൊണ്ടു് ഈ വിഷയത്തിലേക്കു് പ്രവേശിക്കുന്നതിനു് വൃത്തത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രബന്ധമെന്താണെന്നു് ആദ്യം നമുക്കു് പരിശോധിക്കാം.
വൃത്തശാസ്ത്രവും ബൈനോമിയല് തിയറവും
സംസ്കൃതവൃത്തശാസ്ത്രത്തില് അക്ഷരങ്ങളെ കാലദൈര്ഘ്യമനുസരിച്ചു് രണ്ടായി തിരിച്ചിട്ടുണ്ടു്.
സംസ്കൃതത്തിലെ സമവൃത്തങ്ങളില് മൂന്നക്ഷരം വീതമുള്ള ഗണങ്ങളെയാണല്ലോ വൃത്തനിര്ണ്ണയത്തിനു് അടിസ്ഥാനമാക്കുന്നതു്. അപ്പോള് സാദ്ധ്യമായ ഗണങ്ങളുടെ എണ്ണം എട്ട്.
ഒരു വരിയില് നാലക്ഷരമാണുള്ളതെങ്കില്:
ഇതനുസരിച്ചു് സാദ്ധ്യമായവ:
1. നാലു ദീര്ഘാക്ഷരങ്ങളുള്ള ഒരു വൃത്തം
2. മൂന്നു ദീര്ഘാക്ഷരങ്ങളും ഒരു ഹ്രസ്വാക്ഷരവുമുള്ള നാലു് വൃത്തങ്ങള്
3. രണ്ട് ദീര്ഘവും രണ്ട് ഹ്രസ്വവുമുള്ള നാലു് വൃത്തങ്ങള്
4. ഒരു ദീര്ഘവും മൂന്നു ഹ്രസ്വവുമുള്ള നാലു് വൃത്തങ്ങള്
5. നാലു് ഹ്രസ്വാക്ഷരങ്ങളുള്ള ഒരു വൃത്തം.
അങ്ങനെ ആകെ പതിനാറു വൃത്തങ്ങള്.
ഒരു വരിയില് നാല് അക്ഷരമാണുള്ളതെങ്കില് വരുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ എണ്ണം 16 ആണല്ലോ. ഒന്നു മുതല് നാലു വരെ അക്ഷരങ്ങളുള്ള വരികളില് ആകെ വരാവുന്ന വൃത്തങ്ങളോ?
ഈ പ്രക്രിയകള് ബി. സി. 200-നടുത്തു ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്റെ ഛന്ദസൂത്രത്തില് വിവരിക്കുന്നുണ്ടു്. നിശ്ചിതമായ പാറ്റേണുകളുപയോഗിച്ചു് വൃത്തങ്ങള് നിര്മ്മിക്കുന്നതിനു് ബൈനോമിയല് തിയറത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനസങ്കേതങ്ങളാണ് പിംഗളന് ഉപയോഗിച്ചത്. എ. ഡി. പത്താം നൂറ്റാണ്ടില് ഹലായുധന് എന്ന പണ്ഡിതന് മേരുപ്രസ്താരം എന്ന പേരില് ഈ പ്രക്രിയ വിവരിക്കുന്നു. ഇതിനായി അദ്ദേഹം തയ്യാറാക്കിയ പട്ടിക ശ്രദ്ധിക്കുക:
ആറാം നൂറ്റാണ്ടില് വിരഹാങ്കന് എന്ന ഗണിതജ്ഞനും പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില് ഹേമചന്ദ്രനും മാത്രാസംഖ്യയനുസരിച്ചു് സാദ്ധ്യമാകുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു. ഇതിന്റെ ഫലമായി നിര്മ്മിച്ച മാത്രാമേരു നോക്കുക:
(ഇതില് ലഘുവിനു് ഒരു മാത്രയും ഗുരുവിനു് രണ്ട് മാത്രയുമാണെന്നു ഓര്ക്കുക.)
സാദ്ധ്യമായ പാറ്റേണുകളുടെ എണ്ണം നോക്കിയാല് രസകരമായ ഒരു സംഗതി കാണാം. പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടില് Book of Calculation എന്ന കൃതിയിലൂടെ പ്രസിദ്ധനായ ഫിബോനാക്കിയുടെ പേരില് അറിയപ്പെടുന്ന ഫിബോനാക്കി സീക്വന്സ് എന്ന സംഖ്യാനിരയാണിതു്. ഇതില് ആദ്യസംഖ്യ കഴിഞ്ഞാല് ഓരോ സംഖ്യയും തൊട്ടു മുമ്പിലുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുകയാണെന്നു് കാണാം.
താളവും ഗണിതവും
ക്രമമായ ചലനമാണ് താളം എന്നു സാമാന്യമായി പറയാം. ചലനത്തിനു പല ക്രമങ്ങള് കല്പിക്കാമല്ലോ. ചലനത്തിന്റെ ദൈര്ഘ്യം, സ്വഭാവം, എന്നിവയ്ക്കനുസരിച്ചുണ്ടാകുന്ന പാറ്റേണുകളാണു് വിവിധതാളങ്ങള്. താളത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനസങ്കല്പങ്ങളിലെല്ലാം ഗണിതത്തിന്റെ സാന്നിദ്ധ്യമുണ്ട്. പ്രാചീനസംഗീതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില് പത്തു ഘടകങ്ങളെ താളത്തിന്റെ പ്രാണങ്ങളായി കരുതുന്നു. അവ കാലം, മാര്ഗം, ക്രിയ, അംഗം, ഗ്രഹം, ജാതി, കല, ലയം, യതി, പ്രസ്താരം എന്നിവയാണു്. ഇവയില് ആദ്യത്തെ അഞ്ചെണ്ണത്തെ മഹാപ്രാണങ്ങളെന്നും തുടര്ന്നുള്ളവയെ ഉപപ്രാണങ്ങളെന്നും പറയുന്നു.
ഇതില് ഒന്നാമത്തേതാണ് കാലം. സമയത്തിന്റെ അളവിനെ കാലം എന്നു പറയുന്നു. സാമ്പ്രദായികതാളശാസ്ത്രത്തില് ഏറ്റവും ചെറിയ കാലയളവ് “ക്ഷണം” ആണു്. നൂറു താമരയിതളുകള് അടുക്കി വച്ച് അവയില് ഒരു സൂചി കുത്തിയിറക്കുമ്പോള് ഒരു ദളത്തില് നിന്ന് അടുത്തതിലേക്ക് കടക്കുന്നതിന് എത്ര സമയം വേണമോ അതാണ് ക്ഷണമെന്ന് നിര്വ്വചനം. ഏറ്റവും ചെറിയ യൂണിറ്റായ ക്ഷണം മുതല് ഏറ്റവും വലിയ യൂണിറ്റായ കാകപാദം വരെ കാലപരിമാണത്തിനിടയ്ക്കുള്ള വിവിധഘട്ടങ്ങള് പല സംഗീതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളിലും കാണാം. സംഗീതകല്പദ്രുമത്തില് നല്കുന്ന ഗുണനപ്പട്ടിക:
8 ക്ഷണം = 1 ലവം
8 ലവം = 1 കാഷ്ഠം
8 കാഷ്ഠം = 1 നിമിഷം
8 നിമിഷം = 1 കല
2 കല = 1 ത്രുടി (ചതുര്ഭാഗം)
2 ത്രുടി = 1 അനുദ്രുതം (അണു, ബിംബാര്ദ്ധം)
2 അനുദ്രുതം = 1 ദ്രുതം
2 ദ്രുതം = 1 ലഘു
2 ലഘു = 2 ഗുരു
2 ലഘു = 1 പ്ലുതം
2 ലഘു = 1 കാകപാദം
പ്രായോഗികസംഗീതത്തില് അനുദ്രുതമാണ് മറ്റ് അളവുകള് കൂടി കണക്കാക്കാനുള്ള ഏകകം. ഒരു അക്ഷരം (ഒരു ഹ്രസ്വാക്ഷരം ഉച്ചരിക്കാന് വേണ്ട സമയം) ആണ് അനുദ്രുതത്തിനു കാലപ്രമാണം. തുടര്ന്നുള്ള ഭാഗങ്ങളില് ദ്രുതം, ലഘു തുടങ്ങിയവയുടെ അളവിനെക്കുറിച്ച് സംശയം വന്നാല് മേല്പറഞ്ഞ പട്ടിക ശ്രദ്ധിക്കുക.
ഇത്തരം പട്ടികകള് ഇതിലോരോന്നിലുമുണ്ടെങ്കിലും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി പ്രധാനമായ പ്രസ്താരത്തെക്കുറിച്ചു് മാത്രം ഇവിടെ പ്രതിപാദിക്കാം.
പ്രസ്താരം എന്ന വാക്കിനു് വിസ്തരിക്കുക എന്നര്ത്ഥം. ഒരു അംഗത്തിന്റെയോ അംഗസമൂഹത്തിന്റെയോ വകഭേദങ്ങളെ ക്രമപ്രകാരം നിര്ണ്ണയിക്കുന്നതാണു് പ്രസ്താരം. പ്രസ്താരം എന്നത് ഒരേ കാലയളവുള്ള താളത്തെ പലവിധം അംഗങ്ങളായി കല്പിക്കുന്ന രീതിയാണ്. ഇങ്ങനെ പ്രസ്തരിക്കുന്നതിനു് ചില നിശ്ചിതക്രമങ്ങളുണ്ടു്.
പ്രസ്തരിക്കേണ്ട താളത്തെ (അംഗത്തെ) വലതുവശത്തു വലിയ അംഗങ്ങളും ഇടതുവശത്തു ചെറിയ അംഗങ്ങളും വരുന്ന തരത്തില് പിരിച്ചെഴുതുന്നു. എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇവയില് ഏറ്റവും ചെറിയ അംഗമാകുന്നതുവരെ (ഉദ: ദ്രുതം, ലഘു, ഗുരു, പ്ലുതം എന്നീ അംഗങ്ങളുള്ള പ്രസ്താരമാണെങ്കില് ദ്രുതമാകുന്നതു വരെ) ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നു. അതായതു് ഒരു താളത്തിനോ താളാംഗത്തിനോ എത്ര വകഭേദങ്ങള് വരാമെന്നു ക്രമമായി നിര്ണ്ണയിക്കുന്നതാണു് ഈ പ്രക്രിയ. വൃത്തശാസ്ത്രത്തില് നേരത്തേ കണ്ട പ്രക്രിയ തന്നെയാണു് ഇത്. ഉദാഹരണങ്ങളായി താളാംഗങ്ങളായ ദ്രുതം, ലഘു, ഗുരു എന്നിവ പ്രസ്തരിക്കുന്ന രീതി താഴെ കൊടുക്കുന്നു.
അംഗങ്ങള്: ദ്രുതം (O), ലഘു (I), ഗുരു (S)
| 1. ഒരു ദ്രുതം | O എന്ന ഒരു പ്രസ്താരം | ആകെ പ്രസ്താരം = 1 |
| 2. ഒരു ലഘു | I ആദ്യ പ്രസ്താരം | |
| O O രണ്ടാം പ്രസ്താരം | ആകെ പ്രസ്താരം = 2 | |
| 3. ഒരു ദ്രുതം, ഒരു ലഘു | O I ആദ്യ പ്രസ്താരം | |
| I O രണ്ടാം പ്രസ്താരം | ||
| O O O മൂന്നാം പ്രസ്താരം | ആകെ പ്രസ്താരം = 3 | |
| 4. ഒരു ഗുരു | S ആദ്യപ്രസ്താരം | |
| I I രണ്ടാം പ്രസ്താരം | ||
| O O I മൂന്നാം പ്രസ്താരം | ||
| O I O നാലാം പ്രസ്താരം | ||
| I O O അഞ്ചാം പ്രസ്താരം | ||
| O O O O ആറാം പ്രസ്താരം | ആകെ പ്രസ്താരം = 6 |
സംഖ്യ
ഒരു നിശ്ചിതകാലയളവുള്ള താളത്തിന് ആകെ സാദ്ധ്യമാകുന്ന പ്രസ്താരങ്ങളുടെ തുകയാണ് പ്രസ്താരസംഖ്യ. ഇതു് തുടര്ന്നുള്ള പ്രസ്താരങ്ങളില് വളരെ പ്രധാനമാണ്. നേരത്തെ കണ്ട ഉദാഹരണങ്ങളില്:
1. ഒരു ദ്രുതമുള്ള (പ്രസ്തരിക്കുമ്പോള് അവസാനം ഒരു ദ്രുതം ലഭിക്കുന്ന) താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ - 1
2. രണ്ട് ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ - 2
ഇനി 3, 4, 5, 6, 7, 8 എന്നിങ്ങനെ ദ്രുതങ്ങള് വരുന്ന താളങ്ങളുടെ പ്രസ്താരസംഖ്യ കണ്ടു പിടിക്കുന്ന രീതി നോക്കാം.
ഇതിന് അന്ത്യം, ഉപാന്ത്യം, ചതുര്ത്ഥം, ഷഷ്ഠം എന്നീ സങ്കേതങ്ങള് ഉപയോഗിക്കണം.
അന്ത്യം - പ്രസ്താരസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട താളത്തിന്റെ തൊട്ടുമുമ്പുള്ള കാലയളവിന്റെ സംഖ്യ.
ഉദാ: മൂന്നു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ കണക്കാക്കുന്നതിനു് അന്ത്യം - രണ്ട് ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ - 2
ചതുര്ത്ഥം - അന്ത്യത്തിനും ഉപാന്ത്യത്തിനും അതിനു മുമ്പുള്ള സംഖ്യ (തൃതീയം)യ്ക്കും മുമ്പുള്ള സംഖ്യ.
ഷഷ്ഠം - ചതുര്ത്ഥത്തിനു മുമ്പുള്ള സംഖ്യ (പഞ്ചമം)യുടെ തൊട്ടു് മുമ്പുള്ള സംഖ്യ.
ഇവ നാലും കൂട്ടിയെഴുതിയാല് അടുത്ത താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ ലഭിക്കും. ചതുര്ത്ഥം ഇല്ലാത്ത ഇടങ്ങളില് തൃതീയവും ഷഷ്ഠം ഇല്ലാത്തിടത്തു് പഞ്ചമവുമാണു് കൂട്ടേണ്ടതു്.
3. മൂന്നു് ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ:
അന്ത്യം - 2
ഉപാന്ത്യം - 1
ആകെ - 3
1,2,3 എന്നു് ഇതു വരെയുള്ള സംഖ്യാക്രമം
4. നാലു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ:
ഉപാന്ത്യം - 2
(ചതുര്ത്ഥമില്ലാത്തതിനാല്) തൃതീയം - 1
ആകെ - 6
1,2,3,6 എന്നു് ഇതുവരെയുള്ള സംഖ്യാക്രമം.
5 അഞ്ചു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ:
അന്ത്യം - 6
ഉപാന്ത്യം - 3
ചതുര്ത്ഥം - 1
ആകെ - 10
1,2,3,6,10 എന്നു് ഇതുവരെയുള്ള പ്രസ്താരസംഖ്യാക്രമം.
6 ആറു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ:
അന്ത്യം - 10
ഉപാന്ത്യം - 6
ചതുര്ത്ഥം - 2
(ഷഷ്ഠമില്ലാത്തതിനാല്) പഞ്ചമം - 1
ആകെ - 19
7. ഏഴു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരസംഖ്യ:
അന്ത്യം - 10
ഉപാന്ത്യം - 3
ഷഷ്ഠം - 1
ആകെ - 33
1,2,3,6,10,19,33 എന്നു് ഇതു വരെ പ്രസ്താരസംഖ്യാക്രമം.
ഈ പ്രസ്താരസംഖ്യാക്രമം കൊണ്ട് ദ്രുതത്തിലവസാനിക്കുന്ന പ്രസ്താരങ്ങളെത്ര, ലഘുവില് അവസാനിക്കുന്നവയെത്ര, ഗുരുവില് അവസാനിക്കുന്നവയെത്ര, പ്ലുതത്തില് അവസാനിക്കുന്നവയെത്ര എന്നെല്ലാം അറിയാന് കഴിയും. അന്ത്യം, ഉപാന്ത്യം, ചതുര്ത്ഥം, ഷഷ്ഠം എന്നിവ യഥാക്രമം ദ്രുതം, ലഘു, ഗുരു, പ്ലുതം എന്നിവയില് അവസാനിക്കുന്ന പ്രസ്താരങ്ങളുടെ സംഖ്യയെ കുറിക്കുന്നു.
ഉദാ: ആറു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരത്തില്,
ദ്രുതത്തില് അവസാനിക്കുന്നവ - 10
ലഘുവില് അവസാനിക്കുന്നവ - 6
ഗുരുവില് അവസാനിക്കുന്നവ - 2
പ്ലുതത്തില് അവസാനിക്കുന്നവ - 1
ഈ അടിസ്ഥാനസങ്കല്പനങ്ങള് ഉപയോഗിച്ചാണു് മറ്റു പ്രസ്താരഭേദങ്ങള് നിര്ണ്ണയിക്കുന്നതു്. പ്രധാനമായ പത്തു പ്രസ്താരങ്ങള് ഇവയാണു്: 1. നഷ്ടം, 2. ഉദ്ദിഷ്ടം, 3. പാതാളം, 4. ദ്രുതമേരു, 5. ലഘുമേരു, 6. ഗുരുമേരു, 7. പ്ലുതമേരു, 8. സംയോഗമേരു, 9.ഖണ്ഡപ്രസ്താരം, 10. യതിപ്രസ്താരം.
ഇവയോരോന്നും നിര്ണ്ണയിക്കുന്നതിനു് സവിശേഷമായ ക്രിയകളുണ്ടു്. ഇവയില് നഷ്ടപ്രസ്താരത്തെക്കുറിച്ചു മാത്രം പ്രതിപാദിച്ചു് തല്ക്കാലം ഇതു് അവസാനിപ്പിക്കാം.
നഷ്ടപ്രസ്താരം:
താളത്തിന്റെ പ്രസ്താരക്രമത്തില് ഇത്രാമത്തെ പ്രസ്താരം ഏതു് എന്ന ചോദ്യത്തിനു് നഷ്ടപ്രശ്നം എന്നു പേര്. ഇതിനുത്തരം കാണുന്നതു് - അതായതു് ഭേദം ഇത്രമത്തേതു് എന്നറിഞ്ഞാല് അതിന്റെ സ്വരൂപം പറയുന്നതു് - നഷ്ടപ്രസ്താരം.
ഇതിനുള്ള വഴി: താളപ്രസ്താരസംഖ്യകള് ചെറുതു മുതല് വലുതു വരെ എന്ന ക്രമത്തില് എഴുതുക ചോദ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യയെ കുറയ്ക്കുക. ബാക്കി ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യയില് നിന്നു് അന്ത്യവും ഉപാന്ത്യവും മുറയ്ക്കു് കുറയ്ക്കുക. കുറയ്ക്കാന് സാദ്ധ്യമല്ലെങ്കില് (അന്ത്യം, ഉപാന്ത്യം തുടങ്ങിയവയുടെ സംഖ്യകള് മറ്റേ സംഖ്യയെക്കാള് വലുതാണെങ്കില്) ദ്രുതം എന്ന അംഗം ലഭിക്കും. കുറയ്ക്കാന് കഴിയുമെങ്കില് (അന്ത്യം, ഉപാന്ത്യം തുടങ്ങിയവയുടെ സംഖ്യകള് മറ്റേ സംഖ്യയെക്കാള് ചെറുതാണെങ്കില്) ലഘു എന്ന അംഗം ലഭിക്കും. അടുപ്പിച്ചുള്ള രണ്ട് ക്രിയകളില്നിന്നു് ഓരോ ലഘു (ആകെ രണ്ട് ലഘു) ലഭിച്ചാല് അവ രണ്ടും ചേര്ത്ത് ഒരു ഗുരു എന്നു കണക്കാക്കണം. ഒരു ഗുരു കിട്ടിയ ശേഷം തുടര്ന്നുള്ള മൂന്നാമത്തെ ക്രിയയില് ലഘു ലഭിച്ചാല് ഗുരുവും ചേര്ത്തു് ഒരു പ്ലുതമെന്നു് കണക്കാക്കണം. ഒരു ലഘു ലഭിച്ചതിനു ശേഷം അടുത്ത ക്രിയയില് ദ്രുതം ലഭിച്ചാല് ആ ദ്രുതത്തെ കണക്കില് പെടുത്തരുതു്. അവസാനത്തെ വലിയ സംഖ്യയില് തുടങ്ങി ആദ്യത്തെ ചെറിയ സംഖ്യ വരെ ഗണിതക്രിയ തുടരുക. ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ അംഗങ്ങള് ആദ്യം ലഭിച്ചത് അവസാനം എന്ന ക്രമത്തില് എഴുതുക. താള അളവില് കുറവു് വരുന്നുവെങ്കില് കുറവുള്ള മാത്രകള്ക്കു് പാകത്തില് ദ്രുതങ്ങള് കൂടി ചേര്ക്കുമ്പോള് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു.
ഉദാ: നഷ്ടപ്രശ്നം: ആറു ദ്രുതതാളമുള്ള താളത്തിന്റെ 15ാം പ്രസ്താരം ഏതു്?
പ്രസ്താരസംഖ്യാക്രമം: 1,2,3,6,10,19
കൂടിയ സംഖ്യയില് നിന്നു് ചോദ്യത്തിലെ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോള്:
19- 15 = 4
അന്ത്യവും ഉപാന്ത്യവും കുറയ്ക്കുമ്പോള്:
4-10= കുറയ്ക്കാനാവാത്തതിനാല് ദ്രുതം (O)
4-6= കുറയ്ക്കനാവാത്തതിനാല് ദ്രുതം (O)
4-3= 1, കുറയ്ക്കാനായതിനാല് ലഘു (I)
1-2= കുറയ്ക്കാനാവാത്തതിനാല് ദ്രുതം കിട്ടുമെങ്കിലും ലഘുവിനു് ശേഷമായതിനാല് കണക്കാക്കാനാവില്ല.
1-1=0, കുറയ്ക്കാന് കഴിഞ്ഞതിനാല് ലഘു (I)
ആദ്യം കിട്ടിയതു് അവസാനം എന്ന ക്രമത്തില് അംഗങ്ങള് എഴുതുമ്പോള്:
I I I O O - 1+1+1/2+1/2=3 മാത്ര.
ആറു ദ്രുതത്തിന്റെ മാത്രാസംഖ്യ (3)യില് നിന്നു് ലഭിച്ച അംഗത്തിന്റെ മാത്രാസംഖ്യ കുറവില്ലാത്തതിനാല് വേറെ ദ്രുതങ്ങള് ചേര്ക്കേണ്ടതില്ല. അപ്പോള് ആറു ദ്രുതമുള്ള താളത്തിന്റെ 15ാം പ്രസ്താരം - I I O O
മേല്പറഞ്ഞ പ്രസ്താരം ഓരോന്നും വിശദകരിക്കുന്നതിനു് ഒരു പുസ്തകം തന്നെ വേണ്ടി വരും. ഈ വലുപ്പം കാരണം സംഗീതശാസ്ത്രത്തിലെ താളപ്രസ്താരം എന്ന ഒറ്റവിഭാഗം തന്നെ അതിവിപുലമായ ശാസ്ത്രശാഖയായിത്തീര്ന്നു. പ്രയോഗത്തില് നിന്നു് വേര്പെട്ട് ഗണിതയുക്തിയില് മാത്രം അഭിരമിച്ചതിനാല് സമീപകാലത്തു് പ്രസ്താരം എന്ന ഘടകത്തിനു തന്നെ പ്രചാരം കിട്ടാതെപോയി. എങ്കിലും വലിയൊരു നേട്ടമുണ്ടായി. ഭാരതത്തില് പ്രാചീനഗണിതശാസ്ത്രം വികസിച്ചതു് താള-വൃത്തശാസ്ത്രങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണു്. താള-വൃത്തശാസ്ത്രങ്ങള് വികസിച്ചതു് ഗണിതശാസ്ത്രസങ്കല്പനങ്ങള് ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയും. ഇന്നു് ആ സിദ്ധാന്തങ്ങള് പലതും മറ്റു ശാസ്ത്രശാഖകള്ക്കെങ്കിലും പ്രയോജനപ്പെടുന്നു.